Berechne (-3) + (-15) + (+67) + (-51).
Verschiedene Wege sind möglich. Du kannst die ersten beiden, die letzten beiden Summanden und dann deren Summen addieren. Zu diesem Weg gehört die Klammersetzung

[(-3) + (-15)] + [(+67) + (-51)]
Die zusätzlichen Hilfsklammem geben an, welche Additionen zuerst auszuführen sind. Es sind Rechenklammern.

Mit Hilfe der Rechenklammern berechnest du:
(-3) + (-15) + (+67) + (-51)
= [(-3)+ (-15)]+ [(+67)+ (-51)]
= (-18) + (+16)
= (-2)

Du kannst auch die ersten beiden Summanden, deren Summe zum dritten und schließlich zu dieser Summe den vierten Summanden addieren. Dazu gehört die folgende Klammersetzung
[(-3)+ (-15)]+ (+67)]+ (-51)

Du berechnest:
= [(-18) + (+67)] + (-51)
= (+49) + (-51)
= (-2)

Übung:
Berechne die Summe. Beachte die Bedeutung der Klammerung.
[(-3)+ [(-15)+ (+67)]]+ (-51)
Vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten aus dem

Beispiel
Beispiel und Übung 32 zeigen:
Wie du die Klammern in der viergliedrigen Summe auch immer setzt, das Ergebnis ist jedes Mal (-2). Du kannst wie früher in der Menge IB bei Additionsaufgaben Klammern setzen oder weglassen, die Summe verändert sich dabei nicht.

Lösung:
Nach den Klammerregeln muss zuerst die fett gedruckte innere Klammer berechnet werden:
(—15) + (+67) = (+52).

Nun musst du die verbleibende Klammer berechnen: (-3) + (+52) = (+49).
Insgesamt ergibt sich (+49) + (-51) = (-2).
Das Ergebnis ist dasselbe wie in den Beispielen.

Assoziativgesetz der Addition
Für alle rationalen Zahlen x, y und z gilt: (x + y) + z = x + (y + z)

Bei der Addition rationaler Zahlen können Rechenklammern beliebig gesetzt und weggelassen werden.

Übung:
Berechne die folgenden Summen und vergleiche.
a) [(-3,8) + (-12,4)] + [(+3,1) + (-4,5)]
b) [[(-3,8) + (-12,4)] + (+3,1)] + (-4,5)
c) [(-3,8) + [(-12,4) + (+3,1)]] + (-4,5)

Lösung:
a) = (-16,2) + (-1,4) = (-17,6)
b) = [(-16,2) + (+3,1)] + (-4,5) = (-13,1) + (-4,5) = (-17,6)
c) = [(-3,8) + (-9,3)] + (-4,5) = (-13,1) + (-4,5) = (-17,6)
Die Ergebnisse sind jeweils gleich.

Übung:
Berechne die folgenden Summen.

Lösung:

Übung: Berechne die folgenden Summen. Wandle in b) den Bruch um.

Lösung:
Es sind verschiedene Klammersetzungen möglich. Für Teil a) zeige ich dir zwei Möglichkeiten,
a) 1. Möglichkeit
(-3,235) + (-4,08) + (+1,001) + (-1,8976)
= [(-3,235) + (-4,08)] + (+1,001)] + (-1,8976) = [(-7,315) + (+1,001)] + (-1,8976)
= (-6,314) + (-1,8976) = (-8,2116)

2. Möglichkeit
   (-3,235) + (-4,08) + (+1,001) + (-1,8976)
   = [(-3,235) + (-4,08)] + [(+1,001) + (-1,8976)]
   = (-7,315) + (-0,8966)
   = (-8,2116)
3. b) Entsprechend erhältst du (+1,124).
4. c) Hier kannst du geschickt rechnen. Vertausche die letzten beiden Summanden.
   (-12,329) + (-12,347) + (-12,671) + (+12,347)
   = (-12,329) + [(-12,347) + (+12,347)] + (-12,671)
   = (-12,329) + 0 + (-12,671) = (-25)

Die Summe aus Zahl und Gegenzahl ist null.

Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz geben dir die Möglichkeit, mehrgliedrige Summen geschickt zu berechnen. Betrachte dazu nochmals die Übung 35. Die letzten beiden Summanden in Teilaufgabe c) dürfen nach dem Kommutativgesetz vertauscht werden. Dann stehen in der Mitte Zahl und Spiegelzahl bzw. Gegenzahl nebeneinander.
Die Summe aus Zahl und Gegenzah! ist null.
Du brauchst nur noch die beiden verbleibenden Summanden zu addieren.

Biespiel
(-12,329) + (-12,347) + (-12,671) + (+12,347)
= (-12,329) + (-12,347) + (+12,347) + (-12,671)
= (-12,329) +0 + (-12,671)
= (-12,329) + (-12,671)
= (-25)

ÜbungBegründe mit Hilfe der graphischen Addition. Lies vorher noch einmal die Seiten 31,33 und 34.
# a) Die Summe aus Zahl und Gegenzahl ist 0.
# b) Wenn du 0 zu einer Zahl addierst, dann ändert sich diese Zahl nicht.

Lösung:

# a) Zahl und Gegenzahl haben die gleiche Pfeillänge, aber unterschiedliche Richtung der Pfeile. Das Ergebnis ist 0.
# b) Es gibt keinen Pfeil mit der Länge 0. Also kann auch kein Pfeil «angehängt» werden. Die Zahl ändert sich nicht.

ÜbungRechne möglichst geschickt.

Hinweis
Bei Anwendungsaufgaben kannst du in diesem Buch während der Rechnung nur mit den Zahlen und ohne Berücksichtigung der jeweiligen Einheit rechnen. Richte dich aber danach, wie es dein Mathematiklehrer haben möchte. Im Antwortsatz muss die Einheit wieder aufgenommen werden.

Lösung:

# a) = (-13,25) + (+13) + (-4,5) + (+4,5) = (-0,25) + 0 = (-0,25) = –
# b) = (+867) + (-7) + (+1) + (-11) + (-321) = (+860) + (-10) + (-321) = (+850)+ (-321) = (+529)
# c) = (-63) + (-37) + (-38) + (-12) + (+50) = (-100) + (-50) + (+50) = (-100)

Übung: Du hast DM 350,85 auf deinem Sparkonto. Kurz vor deinem Geburtstag kommen noch folgende Geldeinzahlungen: DM 50,00 von Opa, DM 10,00 von deinem Freund Kai, DM 30,00 von Tante Luise und DM 54,00 aus Einnahmen vom Flohmarkt. Aber du hast auch Abbuchungen: DM 15,35 für neues Schreibmaterial, DM 8,50 für eine Überraschung für Mama, DM 60,50 für den Wandertag. Berechne deinen Kontostand nach diesen Buchungen.

Lösung:

(350,85) + (+50) + (+10) + (+30) + (+54) = (+494,85) (HABEN)
(-15,35) + (-8,5) + (-60,50) = (-84,35) (SOLL)
Kontostand: (+494,85) + (-84,35) = (+410,50)
Der Kontostand nach den Buchungen beträgt DM 410,50.

ÜbungWährend des Wandertages bist du auf den 1142 m hohen Brocken gestiegen. Christopher hat getrödelt und bei der Höhenangabe 500 m dann auch noch den falschen Weg gewählt. Er verlor auf seiner ersten Teilstrecke sogar 10,5 Höhenmeter. Dann allerdings kletterte er steil bergan und gewann schnell 523 Höhenmeter. Wie hoch ist er gekommen Wie viele Meter fehlten noch zum Gipfel?

Lösung:

(+500) + (-10,5) + (+523) = (+1012,5); (+1142) – (+1012,5) = (+129,5) Christopher kam 1012,5 m hoch. Es fehlten noch 129,5 m zum Gipfel.