In der Menge IN hast du mehrgliedrige Summen wie die folgende betrachtet:
# (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+8).
Alle Summanden sind untereinander gleich.
Die Berechnung solcher Summen macht keine Schwierigkeiten. Du brauchst den gleichen Summanden (+8) nur um seine Anzahl zu vervielfachen. In der obigen Summe muss (+ 8) versiebenfacht werden.
# (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+8) + (+ 8)
– 7 • (+8) = (+56)

Diese Festlegung kannst du auf negative ganze Zahlen übertragen.

Beispiel: 
# (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8) + (-8)
= 7 . (-8) = (-56),
denn wenn du (-8) siebenmal addierst, ergibt sich (-56).

Übung: Berechne.
# a) 14-(-5)             b) 22 • (-7)           c) 19-(-19)

Lösung:
# a) (-70)                 b) (-154)               c) (-361)

Seit der Einführung der negativen Zahlen musst du alle Zahlen mit Klammern schreiben. Das ist nötig, weil Vor- und Rechenzeichen voneinander zu unterscheiden sind. Die Terme in Übung 44 schreibst du dann so:
# (+14) • (-5), (+22)- (-7), (+19) *(-19).

Diese Terme heißen Produkte. Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren. Der erste Faktor wird auch Multiplikand, der zweite Multiplikator genannt.
Das Multiplikationszeichen «•» kann weggelassen werden, solange dies nicht zu Verwechslungen führt.

Beispiel: 
Die Produkte auf Seite 45 schreibst du dann so: (+14) (-5), (+22) (-7), (+19)(-19)

Übung:

# a) Berechne die Produkte durch Vervielfachung wie im zweiten Beispiel auf Seite 45.
(+12) (-1,1), (+3) (-1,2), (+12) (-0,5), (+3) –
# b) Lassen sich auch die Produkte (-5)(+14), (-7)(+22), (-19)(+19) so berechnen? Begründe deine Vermutung.

Lösung:
# a) (-13,2), (-3,6), (-6), (-1)

# b) Ja, die Faktoren sind vertauschbar. (-70), (-154), (-361)

In Übung 45, Teilaufgabe b) hast du sicher festgestellt:
Die Faktoren in einem Produkt können vertauscht werden.

Lösung:Dies gilt für die Menge IB und nach dem Erweiterungsprinzip auch für die Menge Q.
Du kannst nun Produkte berechnen, bei denen ein Faktor negativ ist. Diese Produkte müssen, wie du gesehen hast, negativ sein.

Wenn ein Faktor negativ ist, gilt:
Multipliziere die Beträge und setze ein Minus vor das Produkt.

Beispiel: 

Übung: Multipliziere.

Du kannst nun zwei positive rationale Zahlen und zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen miteinander multiplizieren. Ein Produkt aus zwei negativen Zahlen wie zum
Beispiel (-5) (-3) kannst du nicht berechnen.
Welches Vorzeichen soll dieses Produkt bekommen?

Es wird festgelegt: Das Produkt aus zwei negativen Faktoren ist positiv.

Damit gilt:
Ein Produkt zweier rationaler Zahlen ist positiv, wenn die Faktoren das gleiche Vorzeichen haben.
Ein Produkt zweier rationaler Zahlen ist negativ, wenn die Faktoren ein un terschiedliches Vorzeichen haben.
«Plus mal Plus» und «Minus mal Minus» gibt «Plus». «Plus mal Minus» und «Minus mal Plus» gibt «Minus».

Beispiel: 
# (-2,4) (-5,28) = (+[2,4- 5,28]) = (+12,672)
# (+3,21) (-1,84) = (-[3,21 • 1,84]) = (-5,9064)
# (-1,25)(+1,5) = (-[1,25 • 1,5]) = (-1,875)
# (+1,11)(+1,01) = (+[1,11 • 1,01]) = (+1,1211)

Übung:Berechne die folgenden Produkte. Wandle einfach periodische
Dezimalzahlen in Brüche mit dem Nenner 9 um.

Lösung:

# a) = (-1,0302) (+1,03) = (-1,061106);         = (+1,01)(-1,0506) = (-1,061106)

# b) = (-2,5) (+8,75) = (-21,875); = (+6,25) (—3,5) = (-21,875)

# c) = (+7,38)(-l,4) = (-10,332); = (+1,8) (-5,74) = (-10,332)

Die Ergebnisse sind jeweils gleich. Es kommt auf das Setzen der Klammern nicht an.

In Übung 48 unterscheiden sich die dreigliedrigen Produkte nur durch die Klammersetzung. Bei der Berechnung hast du festgestellt, dass diese Produkte gleich sind. Das folgende Gesetz gilt allgemein (Erweiterungsprinzip).

Hilfe:
Für das Produkt der Beträge von rationalen Zahlen gelten die Gesetze aus der Menge IB. Du kannst die Faktoren vertauschen. Auf die Vorzeichenregel hat die Vertauschung der Faktoren keinen Einfluss. Es gilt also auch für rationale Zahlen (Erweiterungsprinzip):

Du siehst, das Rechnen mit rationalen Zahlen erfolgt nach den gleichen Gesetzen wie für Zahlen aus der Menge IB.

Übung:Bestimme die folgenden Produkte. Ordne die Faktoren so an, dass du die Teilprodukte leicht berechnen kannst.
# a) (+0,25) (-121,8) (-4)                  #  b) (-25) (-311 ) (-8)
# c) (-1,2)(+ 4,8)(+1,2)                     #  d) (-0,125)(-0,125)(-80)

Lösung:
# a) = (+0,25) (-4) (-121,8) = (-1)(-121,8) = (+121,8)
# b) = (-25) (-8) (-311) = (+200) (-311) = (-62200)
# c) = (-1,2) (+1,2) (+4,8) = (-1,44) (+4,8) = (-6,912)
# d) = (-0,125) (-80) (-0,125) = (+10) (-0,125) = (-1,25)