Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen lässt sich mithilfe einer Primfaktorzerlegung bestimmen. Man multipliziert die höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren, wobei diejenigen Primfaktoren, die in beiden Zahlen Vorkommen, nur einmal verwendet werden, z.B.:
60 = 22 • 3 • 5; 18 = 2 • 32, also ist kgV (18,60) = 22 • 32 • 5 = 180
Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen kann man ebenfalls mithilfe der Primfaktorzerlegung bestimmen. Man multipliziert alle Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen gleichzeitig Vorkommen, z. B.:
216 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3; 126 = 2 • 3 • 3 • 7,
also ist ggT (126, 216) = 2 • 32 = 18
Beispiel: Bestimme das kgV durch Primfaktorzerlegung.
a) kgV(48,108) b) kgV(20,162)
c) kgV(75,95) d) kgV(125, 325)
e) kgV(10,15,18) f) kgV(32,45,50)
Lösung:
a) 48 = 24 • 3; 108 = 22 • 33; kgV (48,108) = 24 • 33 = 432
b) 20 = 22 5; 162 = 2 • 34; kgV (20,162) = 22 • 33 • 5 = 1620
c) 75 = 3 • 52; 95 = 5 • 19; kgV (75, 95) = 3 • 52 • 19 = 1425
d) 125 = 53; 325 = 52 • 13; kgV (125, 325) = 53 13 = 1625
e) 10 = 2 • 5; 15= 3 • 5; 18 = 2• 32; kgV (10,15,18) = 2 • 32 5 = 90
f) 32 = 25; 45 =32 5; 50 = 2 •52; kgV (32,45, 50) = 25• 32 • 52 = 7200
Beispiel: Bestimme den ggT durch Primfaktorzerlegung.
a) ggT(28,126) b) ggT(510, 570)
c) ggT(28,84,140) d) ggT(78,156,208)
e) ggT(18,72,192,210) f) ggT(66,132,165, 363)
Lösung:
a) 28 = 22 • 7; 126 = 2 • 32 • 7; ggT (28,126) = 2 • 7 = 14
b) 510 = 2 • 3 • 5 • 17; 570 = 2 • 3 • 5 • 19; ggT (510, 570) = 2 • 3 • 5 = 30
c) 28 = 22 7; 84 = 22 • 3 • 7; 140 = 22 • 5 • 7; ggT (28, 84,140) = 22 • 7 = 28
d) 78 = 2 • 3 • 13; 156 = 22 3 • 13; 208 = 24 • 13; ggT (78,156, 208) = 2-13 = 26
e) 18 = 2 • 32; 72 = 23 32; 192 = 26 • 3; 210 = 2 • 3 • 5 • 7; ggT (18,72,192, 210) = 2 • 3 = 6
f) 66 = 2 • 3 • 11; 132 = 22 3-11; 165 = 3 • 5 • 11; 363 = 3 • 112; ggT (66,132,165, 363) = 3 • 11 = 33
Beispiel: Berechne in deinem Übungsheft.
a) Vater und Sohn gehen nebeneinander. Während der Vater eine Schrittlänge von 70 cm hat, kann sein Sohn nur 40cm lange Schritte machen. Nach wie vielen Schritten befinden sich ihre Füße wieder auf gleicher Höhe?
b) Von zwei 2 m langen Stangen wird die eine in 25cm lange Stücke np und die andere in 20cm lange Stücke zersägt. Wo gibt es gemeinsame Schnittstellen?
Lösung:
a) kgV (70,40) = 280; 280 :70 = 4; 280 :40 = 7. Der Vater macht 4 Schritte und der Sohn macht 7 Schritte, bis ihre Füße wieder auf gleicher Höhe sind,
b) kgV (20,25) = 100. Nach 1 m gibt es eine gemeinsame Schnittstelle
